Uvod, motivacija i opis problema

U procesu kupovine novog automobila korisno je razmotriti njihove specifikacije kako bi se donijela ˇsto objektivnija odluka o modelu koji odgovara svim zahtjevima kupca. U tu su svrhu prikupljeni detaljni podatci o modelima 22 proizvodaˇca automobila razliˇcitih cjenovnih kategorija.

Pitanje 1 - Snaga automobila ovisno o pogonu

Je li snaga automobila s prednjim pogonom veća od automobila s drugim vrstama pogona?

Uvod

U istraživanju odgovora na ovo pitanje analiziramo kako tip pogona automobila utječe na njegovu snagu. Usredotočeni smo na usporedbu snage između vozila s prednjim pogonom (FWD), zadnjim pogonom (RWD) i pogonom na sve kotače (4WD). Korištenjem detaljnih podataka o automobilima, primjenjujemo statističke metode za razumijevanje ovih razlika. Cilj nam je pružiti dublji uvid u performanse automobila s obzirom na njihov tip pogona.

Učitavanje podataka

Podaci o specifikacijama automobila učitavaju se iz CSV datoteke, pri čemu se uklanjaju svi redovi s nedostajućim vrijednostima, osiguravajući tako pouzdanost analize. Posebno se ističu atributi ‘drive.wheel’ i ‘horsepower’, koji su ključni za naše istraživanje o odnosu između tipa pogona automobila i njegove snage.

cardata = read.csv('car_specifications.csv')
cardata = na.omit(cardata)  # Remove any rows with missing values

head(cardata)

Histogrami distribucije snage motora

Generirajmo histograme koji vizualno prikazuju distribuciju snage motore za svaku kategoriju pogona automobila - prednji (FWD), zadnji (RWD) i pogon na sve kotače (4WD). Histogrami omogućuju vizualnu analizu razlika u snazi između ovih triju kategorija.

# Histograms of 'horsepower' for each 'drive.wheels' category
hist(cardata$horsepower[cardata$drive.wheels=='fwd'], main="Histogram of FWD Horsepower", xlab="Horsepower")

hist(cardata$horsepower[cardata$drive.wheels=='rwd'], main="Histogram of RWD Horsepower", xlab="Horsepower")

hist(cardata$horsepower[cardata$drive.wheels=='4wd'], main="Histogram of 4WD Horsepower", xlab="Horsepower")

Za 4WD vozila, histogram prikazuje da većina automobila s ovim tipom pogona ima snagu koncentriranu oko manjih vrijednosti konjskih snaga (od 60 do 90 konjskih snaga), uz iznimku od 3 vozila sa snagom motora većom od 110 konjskih snaga.

Za FWD vozila, histogram prikazuje vrlo visoku frekvenciju u nižem rasponu snage, s vrhom oko 70 konjskih snaga. Distribucija je šira s nižom maksimalnom učestalošću, što ukazuje na veći raspon snage motora unutar ove kategorije, ali s tendencijom prema nižim vrijednostima snage.

Za RWD vozila, histogram prikazuje distribuciju srednje koncentriranu oko srednjeg raspona snage, s vrhom oko 150 konjskih snaga. Iako se snaga proteže do viših vrijednosti, većina automobila s RWD pogonom ima snagu unutar srednjeg raspona.

Ove distribucije ukazuju na različiti dizajn i cilj proizvođača za svaki tip pogona. Na primjer, 4WD vozila su usmjerena na performanse i sposobnost terenske vožnje, dok su FWD vozila više usmjerena na ekonomičnost i praktičnost za svakodnevnu upotrebu. RWD vozila usmjerena da budu sportski automobili koji zahtijevaju uravnoteženu raspodjelu snage.

Provjera normalnosti podataka

Provodimo analizu normalnosti podataka za varijablu ‘horsepower’ u skladu s različitim vrstama pogona vozila. Koristimo QQ-plotove za vizualizaciju distribucije ‘horsepower’ za pogon na prednjim (FWD), zadnjim (RWD) i četiri pogonska točka (4WD) te provodimo Kolmogorov-Smirnov test (u biblioteci se zove lillie tj. Lilliefors test) kako bismo provjerili normalnost podataka.

# QQ-plots to check the normality of 'horsepower' distribution for different drive types
# QQ-plot for 'horsepower' for front-wheel drive (fwd)
qqnorm(cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == 'fwd'], main = "Q-Q Plot for FWD Horsepower")
qqline(cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == 'fwd'], col = "red")

# QQ-plot for 'horsepower' for rear-wheel drive (rwd)
qqnorm(cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == 'rwd'], main = "Q-Q Plot for RWD Horsepower")
qqline(cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == 'rwd'], col = "red")

# QQ-plot for 'horsepower' for four-wheel drive (4wd)
qqnorm(cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == '4wd'], main = "Q-Q Plot for 4WD Horsepower")
qqline(cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == '4wd'], col = "red")

# Load package for Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
require(nortest)

## Loading required package: nortest

# Normality tests for 'horsepower' across different 'drive.wheels' categories
lillie.test(cardata$horsepower)
lillie.test(cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == 'fwd'])
lillie.test(cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == 'rwd'])
lillie.test(cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == '4wd'])

## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  cardata$horsepower
## D = 0.12737, p-value = 3.598e-08
## 
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == "fwd"]
## D = 0.16274, p-value = 5.212e-08
## 
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == "rwd"]
## D = 0.19291, p-value = 6.33e-07
## 
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == "4wd"]
## D = 0.23329, p-value = 0.2249

Rezultati QQ-plotova ukazuju na odstupanja od pretpostavke normalnosti za varijablu ‘horsepower’ u svim kategorijama pogona vozila, pri čemu se posebno izdvaja kategorija 4WD gdje se gotovo nijedan podatak ne podudara s linearnom linijom na QQ-plotu.

Iz rezultata Kolmogorov-Smirnov testova za normalnost varijable ‘horsepower’ za različite kategorije pogona vozila (FWD, RWD i 4WD) možemo izvući sljedeće zaključke:

Za ukupni skup podataka, p-vrijednost testa je vrlo niska (p-vrijednost ≈ 3.598e-08), što ukazuje na to da distribucija ‘horsepower’ varijable nije normalna.
Za kategoriju FWD, p-vrijednost je niska (p-vrijednost ≈ 5.212e-08), što ukazuje na to da distribucija ‘horsepower’ za ovu kategoriju nije normalna.
Za kategoriju RWD, p-vrijednost je niska (p-vrijednost ≈ 6.33e-07), što ukazuje na to da distribucija ‘horsepower’ za ovu kategoriju nije normalna.
Za kategoriju 4WD, p-vrijednost je relativno visoka (p-vrijednost ≈ 0.2249), što znači da nema dovoljno dokaza da distribucija ‘horsepower’ za ovu kategoriju nije normalna.

Na temelju ovih rezultata, zaključujemo da varijabla ‘horsepower’ ne ispunjava pretpostavku normalnosti distribucije u svim kategorijama pogona vozila (FWD, RWD i 4WD). Posebno se ističe kategorija 4WD, gdje nema dovoljno dokaza da distribucija ‘horsepower’ nije normalna, ali i dalje postoje znakovi odstupanja od normalnosti u ostalim kategorijama.

Unatoč padovima KS testova, uz naputak asistenta da QQ-plotovi ne izgledaju “loše”, dalje ćemo provesti Barlettov test i t-testove kao da su podaci normalni.

Varijabilnost snage motora

U ovom dijelu analize primjenjujemo Barlettov test kako bismo provjerili homogenost varijanci varijable ‘horsepower’ u različitim kategorijama pogona vozila (FWD, RWD i 4WD). Također računamo varijance za ‘horsepower’ u svakoj od tih kategorija i prikazujemo distribuciju ‘horsepower’ putem boxplota kako bismo bolje razumjeli varijabilnost podataka unutar svake kategorije.

Uvjeti za Barlettov test Kako bi proveli Barlettov test na podacima, prvo moramo biti sigurni da dani podaci zadovoljavaju sljedeće uvjete:

Normalnost
Homogenost varijanci
Nezavisnost

Hipoteze

\[H0:\ Nema\ statistički\ značajnih\ razlika\ u\ varijancama\ između\ grupa. \\ H1:\ Postoje\ statistički\ značajne\ razlike\ u\ varijancama\ između\ grupa.\]

Uzimamo u obzir da su vozila u skupu podataka (retci) različita vozila i pretpostavljamo da su podatci nezavisni. Ironično, uvjet testa je da su varijance jednake, no bez obzira na taj zahtjev provodimo test kako bi vidjeli ima li ikakve razlike u varijancama između grupa i kolike su te razlike.

# Bartlett's test for homogeneity of variances across different 'drive.wheels' categories
bartlett.test(cardata$horsepower ~ cardata$drive.wheels)

# Variance calculations for 'horsepower' in each 'drive.wheels' category
var(cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == 'fwd'])
var(cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == 'rwd'])
var(cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == '4wd'])

# Boxplot showing distribution of 'horsepower' across 'drive.wheels' categories
boxplot(cardata$horsepower ~ cardata$drive.wheels, main="Boxplot of Horsepower by Drive Wheels", xlab="Drive Wheels", ylab="Horsepower", col="cyan")

## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  cardata$horsepower by cardata$drive.wheels
## Bartlett's K-squared = 16.972, df = 2, p-value = 0.0002063
## 
## [1] 635.9978
## [1] 1481.587
## [1] 490.2143

Bartlettov test za homogenost varijanci je pružio značajne rezultate:

Testna statistika Bartlett’s K-squared iznosi 16.972.
Broj stupnjeva slobode (df) je 2 (broj kategorija koje se uspoređuju - 1).
P-vrijednost (p-value) iznosi 0.0002063. S obzirom na p-vrijednost manju od uobičajene statističke značajnosti od 0.05, odbacujemo nultu hipotezu koja sugerira homogenost varijanci između grupa. Ovaj rezultat ukazuje na statistički značajne razlike u varijancama između barem dvije kategorije pogona vozila.

Na temelju izračunatih varijanci za varijablu ‘horsepower’ u različitim kategorijama pogona vozila, možemo izvući sljedeće zaključke:

Vozila s prednjim pogonom (FWD) imaju relativno nisku varijancu snage motora (‘horsepower’) s vrijednošću od otprilike 635.9978. Ovo sugerira manju raznolikost snage motora unutar ove kategorije.
Vozila sa zadnjim pogonom (RWD) pokazuju znatno veću varijancu (‘horsepower’) koja iznosi približno 1481.587. To ukazuje na značajniju raspršenost snage motora među vozilima s zadnjim pogonom.
Kategorija vozila s pogonom na sva 4 kotača (4WD) ima umjerenu varijancu snage motora (‘horsepower’) koja iznosi otprilike 490.2143. Varijabilnost snage motora u ovoj kategoriji negdje je između FWD i RWD vozila.

Razlike u varijancama sugeriraju da postoji znatna varijabilnost snage motora između različitih kategorija pogona vozila, pri čemu RWD vozila pokazuju najveću varijancu.

Boxplot prikazuje raspodjelu snage motora u tri različite kategorije pogona vozila: pogon na sva četiri kotača (4WD), prednji pogon (FWD) i stražnji pogon (RWD).

Pogon na sva četiri kotača (4WD): Kutija (interkvartilni raspon, IQR) je relativno uska, što ukazuje na manju varijabilnost snage motora unutar ove grupe. Medijan (označen crtom unutar kutije) iznosi oko 100 konjskih snaga. Nema vidljivih izvanrednih vrijednosti, što sugerira da sva vozila s pogonom na sva četiri kotača imaju snagu motora unutar relativno konzistentnog raspona.

Prednji pogon (FWD): IQR je nešto veći nego kod 4WD-a, što ukazuje na veću varijabilnost. Medijan snage motora nešto je niži nego kod 4WD-a, i nalazi se blizu 100 konjskih snaga. Postoje neke izvanredne vrijednosti ispod donjeg whiskera, što ukazuje da neka vozila s prednjim pogonom imaju znatno manju snagu motora od ostalih.

Stražnji pogon (RWD): Ova kategorija ima najširi IQR, što sugerira širok raspon vrijednosti snage motora. Medijan je puno viši u usporedbi s druga dva, i nalazi se iznad 150 konjskih snaga. Postoji nekoliko izvanrednih vrijednosti, i iznad i ispod kutije. Izvanredne vrijednosti iznad gornjeg whiskera ukazuju da neka vozila s pogonom na stražnjim kotačima imaju iznimno visoku snagu motora.

Općenito, vozila s pogonom na stražnjim kotačima obično imaju veću snagu motora sa širim rasponom vrijednosti, dok vozila s pogonom na sva četiri kotača imaju manju varijabilnost i vozila s prednjim pogonom obično imaju manju snagu motora, s nekim iznimkama. Prisutnost izvanrednih vrijednosti, posebno u kategoriji vozila s pogonom na stražnjim kotačima, sugerira da postoje vozila s vrijednostima snage motora koje se značajno razlikuju od tipičnog raspona vrijednosti unutar te kategorije pogona na kotačima.

Razlike u snazi motora

Kako bismo istražili moguće razlike u snazi motora (‘horsepower’) između različitih kategorija pogona vozila, primijenili smo Kruskal-Wallis test. Ovaj test omogućuje statističku provjeru postojanja značajnih varijacija u snazi motora među tri različite kategorije pogonskih točkica.

Pretpostavke Kruskal-Wallis testa su sljedeće:

Grupe su nezavisne i slučajno uzorkovane.
Mjerenja su numerička ili ordinalna.

Ovaj test je neosjetljiv na normalnost distribucije podataka i homogenost varijanci te ga zato možemo provesti.

Hipoteze: \[H0: Nema\ statistički\ značajnih\ razlika\ između\ grupa.\\H1: Postoji\ statistički\ značajna\ razlika\ između\ najmanje\ jedne\ od\ grupa\ u\ usporedbi.\]

# Kruskal-Wallis test to check for differences in 'horsepower' among the 3 drive wheel categories
kruskal.test(horsepower ~ drive.wheels, data = cardata)

## 
##  Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data:  horsepower by drive.wheels
## Kruskal-Wallis chi-squared = 76.417, df = 2, p-value < 2.2e-16

Test daje statističku vrijednost chi-kvadrat od 76,417 sa 2 stupnja slobode. Izuzetno mala p-vrijednost, manja od 2.2e-16, ukazuje na statistički značajnu razliku u raspodjeli snage motora među tri kategorije pogonska. S obzirom na rezultate, možemo odbaciti nultu hipotezu da je medijan snage motora isti za kategorije 4WD, FWD i RWD. Drugim riječima, nije istina da nema statistički značajnih razlika između grupa. Zaključak ovog testa podupire vizualne nalaze iz boxplotova, gdje je uočeno da vozila sa stražnjim pogonom obično imaju veću snagu motora, što sugerira da postoji razlika u snazi motora između različitih vrsta pogona.

Usporedba s.m. za sve tipove pogona

Provodimo t-testove za usporedbu snage motora između različitih vrsta pogona vozila. Uspoređujemo snagu motora između vozila s prednjim pogonom (FWD), stražnjim pogonom (RWD) i pogonom na sva četiri kotača (4WD). Cilj ovih testova je provjeriti postoje li statistički značajne razlike u snazi motora između navedenih vrsta pogona vozila. Rezultati testova pružit će nam bolji uvid u to kako različite vrste pogona mogu utjecati na snagu motora u vozilima.

T-test, koji se koristi za usporedbu srednjih vrijednosti dviju grupa, ima tri glavne pretpostavke:

Normalnost distribucije
Homogenost varijanci
Nezavisnost uzoraka

Budući da varijance nisu homogene, koristimo opciju var.equal = FALSE pri provođenju testova.

# T-test for 'horsepower' between fwd and rwd
t.test(cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == 'fwd'], 
       cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == 'rwd'], var.equal = FALSE)

# T-test for 'horsepower' between rwd and 4wd
t.test(cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == 'rwd'], 
       cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == '4wd'], var.equal = FALSE)

# T-test for 'horsepower' between fwd and 4wd
t.test(cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == 'fwd'], 
       cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == '4wd'], var.equal = FALSE)

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == "fwd"] and cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == "rwd"]
## t = -9.0854, df = 107.12, p-value = 5.927e-15
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -56.81325 -36.46140
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##   86.2500  132.8873 
## 
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == "rwd"] and cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == "4wd"]
## t = 5.0354, df = 12.435, p-value = 0.0002614
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  25.96637 65.30828
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  132.8873   87.2500 
## 
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == "fwd"] and cardata$horsepower[cardata$drive.wheels == "4wd"]
## t = -0.12239, df = 8.3046, p-value = 0.9055
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -19.72192  17.72192
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##     86.25     87.25

Rezultati niza Welchovih t-testova ukazuju na značajne razlike u snazi motora između različitih vrsta konfiguracija pogona vozila. U usporedbi između vozila s prednjim pogonom (FWD) i vozila s pogonom na stražnjim kotačima (RWD), statistika t-testa iznosi -9.0854 s p-vrijednošću od otprilike 5.93e-15, što ukazuje na statistički značajnu razliku u srednjoj snazi motora, pri čemu vozila s pogonom na stražnjim kotačima (RWD) imaju veću srednju snagu motora.

U usporedbi vozila s pogonom na stražnjim kotačima (RWD) i vozila s pogonom na sva četiri kotača (4WD), statistika t-testa iznosi 5.0354 s p-vrijednošću od 0.0002614, što ukazuje da vozila s pogonom na stražnjim kotačima (RWD) imaju značajno veću snagu motora od vozila s pogonom na sva četiri kotača (4WD).

Međutim, u usporedbi vozila vozila s prednjim pogonom (FWD) i vozila s pogonom na sva četiri kotača (4WD), statistika t-testa iznosi -0.12239 s visokom p-vrijednošću od 0.9055, što sugerira da nema statistički značajne razlike u snazi motora između ova dva tipa pogona.

Intervali pouzdanosti dodatno podupiru ove rezultate, prikazujući značajnu i nepreklapajuću razliku za prve dvije usporedbe te vrlo uzak i preklapajući raspon za usporedbu između FWD i 4WD vozila. Te su razlike prikazane u scatter plotovima u daljnjoj analizi.

Rezultati analize dokazuju da dok vozila s pogonom na stražnjim kotačima obično imaju veću snagu motora od vozila s prednjim pogonom i vozila s pogonom na sva četiri kotača, vozila s prednjim pogonom i vozila s pogonom na sva četiri kotača su slična po snazi motora u prosjeku.

Vizualizacija podataka

Scatter plot se koristi za vizualizaciju odnosa između veličine motora i snage motora te za identifikaciju korelacija između njih. Density plot prikazuje kako se snaga motora distribuira unutar različitih tipova pogonska vozila, omogućujući usporedbu distribucija između tih kategorija. Oba grafikona pomažu u boljem razumijevanju podataka i otkrivanju obrazaca u specifikacijama vozila. Scatter plot pomaže u prepoznavanju odnosa između varijabli, dok density plot omogućuje analizu varijabilnosti snage motora među različitim grupama vozila.

Iz density plota vidimo proporcionalan odnos veličine motora i snage motora, dok u scatter plotu vidimo veliko preklapanje između snaga motora vozila s prednjim pogonom (FWD) i snaga motora vozila s pogonom na sva četiri kotača (4WD). Vozila sa zadnjim pogonom (RWD) se manje preklapaju s prva dva tipa pogona, a prema višim snagama nema preklapanja s drugim pogonima.

# Installing and Loading ggplot2 package
options(repos = c(CRAN = "http://cran.rstudio.com"))
if (!requireNamespace("ggplot2", quietly = TRUE)) {
    install.packages("ggplot2")
}
library(ggplot2)
# Density plot
ggplot(cardata, aes(x = horsepower, fill = drive.wheels)) +
  geom_density(alpha = 0.5) +
  labs(title = "Density Plot of Horsepower by Drive Wheels",
       x = "Horsepower",
       y = "Density") +
  theme_minimal() +
  scale_fill_brewer(palette = "Set1")

# Scatter plot
ggplot(cardata, aes(x = engine.size, y = horsepower)) +
  geom_point() +
  labs(title = "Scatter Plot of Engine Size vs Horsepower",
       x = "Engine Size",
       y = "Horsepower") +
  theme_minimal()

Zaključak

Na temelju provedenih analiza, zaključujemo da tip pogona automobila značajno utječe na snagu motora. Rezultati Kruskal-Wallis testa i t-testova pokazali su da postoje statistički značajne razlike u snazi motora između vozila s različitim vrstama pogona. Vozila sa zadnjim pogonom (RWD) obično imaju veću snagu motora u usporedbi s vozilima s prednjim pogonom (FWD) i pogonom na sva četiri kotača (4WD). Ovo je vidljivo iz visokih vrijednosti medijana i veće varijance u snazi motora kod RWD vozila, što ukazuje na sklonost prema performansama i sportskoj orijentaciji.

S druge strane, vozila s prednjim pogonom (FWD) i pogonom na sva četiri kotača (4WD) pokazala su sličnu prosječnu snagu motora, što ukazuje na to da su ta vozila više usmjerena na uravnoteženost između ekonomičnosti i sposobnosti terenske vožnje. Ovo je potvrđeno t-testom između FWD i 4WD kategorija, gdje nije bilo statistički značajne razlike u prosječnoj snazi motora. Vizualne analize, uključujući histograme, boxplotove i density plot, dodatno su potvrdile ove nalaze.

U odgovoru na postavljeno pitanje, možemo zaključiti da automobili s prednjim pogonom (FWD) generalno nemaju veću snagu motora u usporedbi s ostalim vrstama pogona. U stvarnosti, automobili s RWD pogonom imaju tendenciju posjedovanja veće snage motora, dok su FWD i 4WD automobili sličniji po prosječnoj snazi motora

Pitanje 2 - Razlike u potrošnji automobila prema regiji

Postoje li razlike u potrošnji automobila prema regiji kojoj pripada proizvođač?

Uvod

Da odgovorimo na ovo pitanje, moramo analizirati podatke potrošnje goriva na 3 kontinenta. Zbog činjenice da imamo više od 2 regije, analiza varijance (ANOVA) će biti naš odabir modeliranja umjesto t-testa, ali prije toga ćemo morati testirati uvjete ANOVA-e.

Učitavanje podataka:

path <- "car_specifications.csv"
data <- read.csv(path)

data$continent = as.factor(data$continent)
data$country = as.factor(data$country)
head(data)

Nama su relevantni stupci ‘city.L.100km’, ‘highway.L.100km’ i ‘continent’

Usporedba sredina

Provjera aritmetičkih sredina Prije nego krenemo sa ANOVA-om, možemo prvo usporediti aritmetičke sredine podataka. Ovo nije dovoljno da radimo bilo kakve konkretne zaključke, ali nam daje uvid u što bi možda očekivali. Također ćemo izračunati varijancu i standardnu devijaciju da imamo bolju ideju o izgledu raspršenosti podataka. Provjerimo sredine za pojedine kontinente sa boxplotom i sveukupnu sredinu i varijance kroz ispis:

continents = unique(data$continent) #lista svih kontinenta

overallMeanCity = mean(data$city.L.100km)
overallMeanHighway = mean(data$highway.L.100km)
overallVarCity = var(data$city.L.100km)
overallVarHighway = var(data$highway.L.100km)

cat("\n")
print(sprintf("Aritmetička sredina potrošnje goriva u gradu: %f",overallMeanCity))
print(sprintf("Aritmetička sredina potrošnje goriva na autocestama: %f",overallMeanHighway))

print(sprintf("Sveukupna varijanca za gradove: %f",overallVarCity))
print(sprintf("Standardna devijacija: %f",sqrt(overallVarCity)))

print(sprintf("Sveukupna varijanca za autoceste: %f",overallVarHighway))
print(sprintf("Standardna devijacija: %f",sqrt(overallVarHighway)))

boxplot(data$city.L.100km ~ data$continent)

boxplot(data$highway.L.100km ~ data$continent)

## 
## [1] "Aritmetička sredina potrošnje goriva u gradu: 9.943582"
## [1] "Aritmetička sredina potrošnje goriva na autocestama: 8.043433"
## [1] "Sveukupna varijanca za gradove: 6.429238"
## [1] "Standardna devijacija: 2.535594"
## [1] "Sveukupna varijanca za autoceste: 3.390360"
## [1] "Standardna devijacija: 1.841293"

Već vidimo da je potrošnja u Europi u prosjeku veća nego druga dva kontinenta. Osim toga vidimo da je i disperzija nešto veća.

#Uvjeti za ANOVA-u Podsjetimo se. Želimo testirati ima li značajno odstupanje u sredinama potrošnje goriva na 3 kontinenta i zato prirodno biramo ANOVA-u. Kako bi proveli ANOVA test na podacima, prvo moramo biti sigurni da dani podaci zadovoljavaju sljedeće uvjete: 1. Normalnost 2. Nezavisnost 3. Homogenost varijanci

Testiranje normalnosti

Prvo ćemo proveti test normalnosti. Zanimaju nas tablice za potrošnju goriva u gradu i na autocesti za svaki kontinent. Koristit ćemo Lilliefors test koji se temelji na Kolmogorov-Smirnov testu i Q-Q plot za vizualizaciju. Postavljamo hipoteze: \[\begin{aligned} H_0 &: Dani\ podaci\ za\ potrošnju\ goriva\ imaju\ normalnu\ distribuciju\\ H_1 &: \neg H0 \end{aligned}\]

Provedimo test:

require(nortest) #potrebna biblioteka

for (continent in continents) {
  print(paste("For continent:",continent))
  print(lillie.test(data$city.L.100km[data$continent == continent]))
  print(lillie.test(data$highway.L.100km[data$continent == continent]))
  titleHighway = paste(continent,", highway")
  titleCity = paste(continent,", city")
  hist(data$highway.L.100km[data$continent == continent],main=titleHighway)
  hist(data$city.L.100km[data$continent == continent],main=titleCity)
}

## [1] "For continent: Europe"
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  data$city.L.100km[data$continent == continent]
## D = 0.11082, p-value = 0.02499
## 
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  data$highway.L.100km[data$continent == continent]
## D = 0.17288, p-value = 9.739e-06
## 
## [1] "For continent: North America"
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  data$city.L.100km[data$continent == continent]
## D = 0.2557, p-value = 0.001348
## 
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  data$highway.L.100km[data$continent == continent]
## D = 0.28537, p-value = 0.0001587
## 
## [1] "For continent: Asia"
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  data$city.L.100km[data$continent == continent]
## D = 0.15718, p-value = 7.516e-07
## 
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  data$highway.L.100km[data$continent == continent]
## D = 0.14449, p-value = 9.635e-06

Dobili smo vrlo male p-vrijednosti. Sve su signifikantne na barem 0.05 razini, a većina je i ekstremnije od toga. Ovime možemo uvjereno odbaciti H0 i zaključiti kako podaci nisu normalno distribuirani. Osim toga, histogrami očito pokazuju kako podaci ne prate Gaussovu krivulju. Manjak normalnosti možemo vidjeti i na Q-Q plotu:

qqnorm(data$highway.L.100km[data$continent == "Asia"],main="Asia, highways")
qqline(data$highway.L.100km[data$continent == "Asia"])

qqnorm(data$city.L.100km[data$continent == "Asia"],main = "Asia, cities")
qqline(data$city.L.100km[data$continent == "Asia"])

qqnorm(data$highway.L.100km[data$continent == "North America"],main = "NA,highways")
qqline(data$highway.L.100km[data$continent == "North America"])

qqnorm(data$city.L.100km[data$continent == "North America"],main = "NA, cities")
qqline(data$city.L.100km[data$continent == "North America"])

qqnorm(data$highway.L.100km[data$continent == "Europe"],main = "Europe, highways")
qqline(data$highway.L.100km[data$continent == "Europe"])

qqnorm(data$city.L.100km[data$continent == "Europe"],main = "Europe, cities")
qqline(data$city.L.100km[data$continent == "Europe"])

Iako KS test i Q-Q plotovi nedaju dobre izglede za normalnost, vidimo na plotovima da podaci u sredini približno prate fitted liniju. Za sada ćemo reći da je ovo ‘dovoljno dobro’ i nastaviti sa Bartlettovim testom, ali ćemo kasnije napraviti i Kruskal-Wallis test kako bi bili sigurni.

\[ \begin{aligned} H_0 & : \sigma_1^2 = \sigma_2^2= \sigma_3^2 \\ H_1 & : \text{barem dvije varijance nisu iste}. \end{aligned} \]

bartlettCity=bartlett.test(data$city.L.100km ~ data$continent)
bartlettHighway = bartlett.test(data$highway.L.100km ~ data$continent)
print(bartlettCity)
print(bartlettHighway)

for(continent in continents) {
  print(var(data$highway.L.100km[data$continent == continent]))
  print(var(data$city.L.100km[data$continent == continent]))
}

## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  data$city.L.100km by data$continent
## Bartlett's K-squared = 3.278, df = 2, p-value = 0.1942
## 
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  data$highway.L.100km by data$continent
## Bartlett's K-squared = 9.1482, df = 2, p-value = 0.01032
## 
## [1] 3.700244
## [1] 6.154051
## [1] 2.416816
## [1] 4.810641
## [1] 1.942657
## [1] 4.176483

Jedan test ima veliku p-vrijednost, drugi malu. Opet, ovo ne izgleda obečavajuće za ANOVA test ali za sad ćemo reći da je ‘dovoljno dobro’. ANOVA hipoteze: \[\begin{aligned} H_0 &:\ Očekivana\ vrijednost\ potrošnje\ goriva\ po\ kontinentima\ je\ jednaka\\ H_1 &: Barem\ jedna\ očekivana\ vrijednost\ se\ razlikuje\ od\ ostalih \end{aligned}\]

aC = aov(data$city.L.100km ~ data$continent)
aH = aov(data$highway.L.100km ~ data$continent)

summary(aC)
print("============================================================")
summary(aH)

##                 Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## data$continent   2  302.5  151.25   30.45 2.94e-12 ***
## Residuals      198  983.4    4.97                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## [1] "============================================================"
##                 Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## data$continent   2  156.1   78.06   29.61 5.62e-12 ***
## Residuals      198  522.0    2.64                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Dobili smo male p-vrijednosti za oba testa. Ovo sugerira da postoje razlike u srednjim vrijednostima. Probajmo prilagoditi model:

modelC = lm(data$city.L.100km ~ data$continent)
summary(modelC)
print("============================================================")
modelH = lm(data$highway.L.100km ~ data$continent)
summary(modelH)

## 
## Call:
## lm(formula = data$city.L.100km ~ data$continent)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -5.1808 -1.5434 -0.3408  0.8392  6.5492 
## 
## Coefficients:
##                             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)                   9.1234     0.2154  42.347  < 2e-16 ***
## data$continentEurope          2.4074     0.3369   7.145 1.68e-11 ***
## data$continentNorth America  -0.6644     0.5429  -1.224    0.223    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.229 on 198 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.2352, Adjusted R-squared:  0.2275 
## F-statistic: 30.45 on 2 and 198 DF,  p-value: 2.941e-12
## 
## [1] "============================================================"
## 
## Call:
## lm(formula = data$highway.L.100km ~ data$continent)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -4.0700 -1.1154 -0.1254  0.6100  5.5100 
## 
## Coefficients:
##                             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)                   7.4654     0.1570  47.562  < 2e-16 ***
## data$continentEurope          1.7146     0.2455   6.985 4.24e-11 ***
## data$continentNorth America  -0.5349     0.3955  -1.352    0.178    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.624 on 198 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.2302, Adjusted R-squared:  0.2225 
## F-statistic: 29.61 on 2 and 198 DF,  p-value: 5.619e-12

Vidimo da smo dobili malu p-vrijednost, ali i mali R^2. Ovo sugerira da iako model ne objašnjava najbolje dane podatke, barem jedna nezavisna varijabla je statistički vezana vezana sa zavisnim.

#Kruskal-Wallis test Okrećemo se alternativi ANOVA testa, Kruskal-Wallis test. To je neparametarski test pa ne trebamo da nam podaci prate određenu distribuciju. Jedini uvjet je da je broj podataka barem 5. Hipoteze se postavljaju na isti način kao u ANOVA-i.

Hipoteze: \[\begin{aligned} H_0 &:\ Očekivana\ vrijednost\ potrošnje\ goriva\ po\ kontinentima\ je\ jednaka\\ H_1 &: Barem\ jedna\ očekivana\ vrijednost\ se\ razlikuje\ od\ ostalih \end{aligned}\] Ovu istu hipotezu p Ovu istu hipotezu postavljamo za gradove i autoceste te zbog toga provodimo test dvaput.

Provedimo Kruskal-Wallis test:

filteredDataHighway = list(Asia_Highway = data$highway.L.100km[data$continent == "Asia"], NA_Highway = data$highway.L.100km[data$continent == "North America"], Europe_Highway = data$highway.L.100km[data$continent == "Europe"])
filteredDataCity = list(Asia_City = data$city.L.100km[data$continent == "Asia"], NA_City = data$city.L.100km[data$continent == "North America"], Europe_City = data$city.L.100km[data$continent == "Europe"])

kruskalHighway = kruskal.test(filteredDataHighway)
kruskalCity = kruskal.test(filteredDataCity)
print(kruskalHighway)

## 
##  Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data:  filteredDataHighway
## Kruskal-Wallis chi-squared = 46.203, df = 2, p-value = 9.272e-11

Provjerimo prvo rezultat za potrošnju na autocestama. Dobili smo vrlo malu p-vrijednost, praktički je jednaka nuli, dakle bez sumnje odbacujemo H0 i zaključujemo da se barem jedna očekivana vrijednost razlikuje od ostalih.

Provjerimo sad rezultat za gradove:

print(kruskalCity)

## 
##  Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data:  filteredDataCity
## Kruskal-Wallis chi-squared = 49.079, df = 2, p-value = 2.201e-11

Opet imamo p-vrijednost koja je efektivno jednaka nuli. Za potrošnju u gradovima također odbacujemo H0.

Na temelju boxplotova koje smo ranije vidjeli, najvjerojatnije su podaci za Europu zaslužni za odbijanje H0. Možemo koristiti Dunnov test da vidimo između kojih grupa su razlike značajne. Dunnov test ima istu hipotezu kao Kruskal-Wallis test.

require(dunn.test)

## Loading required package: dunn.test

dunn = dunn.test(data$highway.L.100km , g = data$continent,method="bonferroni")
print(dunn)
dunn = dunn.test(data$city.L.100km, g = data$continent, method = "bonferroni")

##   Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data: x and group
## Kruskal-Wallis chi-squared = 46.2028, df = 2, p-value = 0
## 
## 
##                            Comparison of x by group                            
##                                  (Bonferroni)                                  
## Col Mean-|
## Row Mean |       Asia     Europe
## ---------+----------------------
##   Europe |  -6.059794
##          |    0.0000*
##          |
## North Am |   1.440839   5.028198
##          |     0.2244    0.0000*
## 
## alpha = 0.05
## Reject Ho if p <= alpha/2
## $chi2
## [1] 46.20277
## 
## $Z
## [1] -6.059794  1.440840  5.028199
## 
## $P
## [1] 6.814784e-10 7.481500e-02 2.475542e-07
## 
## $P.adjusted
## [1] 2.044435e-09 2.244450e-01 7.426625e-07
## 
## $comparisons
## [1] "Asia - Europe"          "Asia - North America"   "Europe - North America"
## 
##   Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data: x and group
## Kruskal-Wallis chi-squared = 49.0792, df = 2, p-value = 0
## 
## 
##                            Comparison of x by group                            
##                                  (Bonferroni)                                  
## Col Mean-|
## Row Mean |       Asia     Europe
## ---------+----------------------
##   Europe |  -6.382981
##          |    0.0000*
##          |
## North Am |   1.173223   4.963401
##          |     0.3611    0.0000*
## 
## alpha = 0.05
## Reject Ho if p <= alpha/2

Zanima nas “p-adjusted” redak koji se također može vidjeti u tablici(drugi redak u svakoj čeliji). Za oba testa imamo isti zaključak Vidimo da je p-adjusted za North_America-Asia relativno velik i nije signifikantan na niti jednoj tipičnoj razini. Međutim, imamo vrlo male p-adjusted vrijednosti između Europe i bilo kojeg drugog kontinenta. Ovime možemo zaključiti da je odbijanje nul hipoteze Kruskal-Wallis testa bilo primarno zbog razine potrošnje u Europi.

Subregionalno

Testiranje među regijama u Europi Budući da Azija i Sjeverna Amerika imaju relativno slične potrošnje, ne zanima nas detaljnije subregionalno testiranje. Osim toga, ti kontinenti imaju samo po jednu državu u podacima, dakle ni ne možemo podjeliti na manje regije. Međutim, Europu, koja je imala poprilično veliku potrošnju goriva i mnogo država, možemo podijeliti na manje regije, no ne možemo testirati na pojedinim državama jer za neke nemamo dovoljno podataka. Opet ćemo napraviti Kruskal-Wallis test i, po potrebi, Dunnov test. Ovime možemo probati zaključiti ako se u nekim regijama više troši.

Podjela na subregije Trebamo odrediti kako želimo grupirati države. Ciljat ćemo na podjelu koja otprilike dijeli Europu na zapadnu, sjevernu i središnju Europu. Budući da za Italiju i UK nemamo dovoljno podataka, grupirat ćemo ih sa Francuskom i Švedskom respektivno. Francuska i Italija će predstavljati zapadnu, UK i Švedska sjevernu, a Njemačka središnju Europu.

westEuRegions = c("France","Italy")
northEuRegions = c("United Kingdom","Sweden")
centralEuRegions = c("Germany")

westEuData = subset(data, country %in% westEuRegions, select = c(highway.L.100km,city.L.100km,country))
northEuData = subset(data, country %in% northEuRegions, select = c(highway.L.100km,city.L.100km,country))
centralEuData = subset(data, country %in% centralEuRegions, select = c(highway.L.100km,city.L.100km,country))

europeDataHighway = list(west = westEuData$highway.L.100km, north = northEuData$highway.L.100km, central = centralEuData$highway.L.100km)
europeDataCity = list(west = westEuData$city.L.100km, northEuData$city.L.100km, central = centralEuData$city.L.100km)

Hipoteze su na istu logiku: \[\begin{aligned} H_0 &:\ Očekivana\ vrijednost\ potrošnje\ goriva\ po\ podregijama\ je\ jednaka\\ H_1 & :Barem\ jedna\ očekivana\ vrijednost\ se\ razlikuje\ od\ ostalih \end{aligned}\]

Provedimo testove:

euKruskalHighway = kruskal.test(europeDataHighway)
euKruskalCity = kruskal.test(europeDataCity)

print(euKruskalHighway)
print(euKruskalCity)

## 
##  Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data:  europeDataHighway
## Kruskal-Wallis chi-squared = 0.62478, df = 2, p-value = 0.7317
## 
## 
##  Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data:  europeDataCity
## Kruskal-Wallis chi-squared = 2.151, df = 2, p-value = 0.3411

Velika p-vrijednost za oba testa nam govori da nema značajne razlike među ovim regijama Europe. Za kraj ćemo napraviti boxplot potrošnje goriva za svaku pojedinu europsku državu.

eu = c("Germany","France","Italy","United Kingdom","Sweden")
dataCopy = data
dataCopy$country = factor(data$country, levels=eu)
euData = subset(dataCopy, country %in% eu, select = c(highway.L.100km,city.L.100km,country))
boxplot(euData$highway.L.100km ~ euData$country)

boxplot(euData$city.L.100km ~ euData$country)

Za neke države imamo jako malo podataka, ali možemo vidjeti da UK značajno odstupa od ostalih država. Vjerojatno jer su u datasetu uključeni Jaguari sa jačim motorima koji više troše. Zaključujemo da nisu određene europske države zaslužne za značajno odstupanje u prosječnoj potrošnji goriva, već vidimo da se generalno više troši, bilo u gradovima bilo na autocestama.

Pitanje 3 - Predvidanje cijene automobila

Mozemo li temeljem drugih dostupnih varijabli predvidjeti cijenu automobila? Koja varijabla pritom ima najznacajniji utjecaj?

Izrađeno je ukupno šest regresijskih modela, svaki kombinira različite karakteristike automobila kako bi se pronašla veza između cijene i tih karakteristika. Cilj je sastaviti najbolji model koji predviđa cijenu automobila.

Interpretacija plotova

Uz modele su priloženi tzv. Residual vs Fitted te Normal Q-Q grafovi.

Residual vs Fitted graf provjerava pretpostavku da ostaci (reziduali) imaju srednju vrijednost nula na svim razinama nezavisnih varijabli. Željeni izgled grafa je nasumična raspršenost tocaka, bez jasno vidljivog obrasca. Obrasci ukazuju na to da model nije adekvatno objasnio neki aspekt korištene strukture podataka. Nasumično raspršene točke oko horizontalne linije na nuli sugeriraju da su predviđanja modela nepristrana na svim razinama nezavisnih varijabli. To implicira da je model prikladan za podatke duž cijelog raspona predviđenih vrijednosti. Odsutnost obrazaca ili sustavnih struktura sugerira da su reziduali modela raspoređeni nasumično, što podupire pretpostavku da je odnos između nezavisnih varijabli i zavisne varijable linearan.

Zakrivljeni oblik: Zakrivljen odnos u ostacima (kao oblik slova U ili obrnuto U) može sugerirati da postoji nelinearan odnos između nezavisnih varijabli i zavisne varijable koji nije uhvaćen modelom.

Raširenje/skupljanje (heteroscedastičnost): Ako se ostaci šire ili skupljaju kako se povećavaju ili smanjuju predviđene vrijednosti, to ukazuje na nejednaku varijancu (heteroscedastičnost), što krši jednu od pretpostavki linearne regresije.

Normal Q-Q: Normal Q-Q graf služi za provjeru pretpostavke normalne distribucije reziduala (ostataka) modela. Ideja je usporediti kvantile empirijske distribucije reziduala s kvantilima teorijske normalne distribucije. Ako su točke na grafu približno poravnate duž pravca, to sugerira da reziduali slijede normalnu distribuciju.

Ako točke na grafu leže duž pravca koji prolazi kroz središte, to ukazuje na to da reziduali imaju srednju vrijednost blizu nula, što je dobra karakteristika. Graf može ukazivati na to koliko dobro reziduali odgovaraju pretpostavci normalnosti.

Interpretacija ispisa

Ispis pruža rezultate analize linearne regresije, uključujući koeficijente modela, njihovu statističku značajnost i ukupno prilagođavanje modela. Razmotrimo ključne komponente:

Koeficijenti: Za svaki član u modelu dobivamo procjenu veličine učinka (Estimate), standardnu pogrešku te procjene (Std. Error) i t-vrijednost, koja je procjena podijeljena s njezinom standardnom pogreškom. Stupac Pr(>|t|) prikazuje p-vrijednost za t-test protiv nulte hipoteze da je koeficijent nula (nema učinka). Određeni članovi su statistički značajni prediktori cijene (Pr(>|t|) je manje od npr. 0,05), pri čemu ce određeni imati posebno malu p-vrijednost, što ukazuje na snažan odnos s cijenom. Određeni članovi neće biti statistički značajni na razini od npr. 0,05 (p-vrijednost je npr. 0,0641).

Oznake značajnosti: Zvjezdice označavaju razinu značajnosti, s više zvjezdica označava višu statističku značajnost.

Standardna pogreška ostataka: Ovo je procjena standardne devijacije ostataka (reziduala), što je otprilike prosječna udaljenost na kojoj se promatrane vrijednosti nalaze od regresijske linije.

Multiple R-kvadrat i Prilagođeni R-kvadrat: Multiple R-kvadrat od npr. 0,7661 ukazuje da se otprilike 76,61% varijabilnosti cijene može objasniti modelom. To je mjera dobrog prilagođavanja modela. Prilagođeni R-kvadrat je prilagođen broju prediktora u modelu i preciznija je mjera dobrog prilagođavanja. Za ovaj model može iznositi npr. 0,7625.

F-statistika i njezina p-vrijednost: F-statistika testira nultu hipotezu da su svi koeficijenti regresije jednaki nuli (tj. model nema objašnjavajuću snagu). Vrlo mala p-vrijednost ukazuje da je model statistički značajan i da je barem jedan od prediktora povezan s cijenom.

Regresijski modeli

Karakteristike motora

Sastavljena su tri regresijska modela, svaki od kojih tvori različitu kombinaciju karakteristika motora.

Model 1

Prvi model koristi varijable: konjske snage, veličinu motora, broj cilindara te sustav goriva kako bi predvidio cijenu automobila.

*KOD:**

# Učitavanje podataka
data <- read.csv("car_specifications.csv")

# Pretvaranje kategoričkih varijabli u faktore
data$make <- as.factor(data$make)
data$aspiration <- as.factor(data$aspiration)
data$num_of_doors <- as.factor(data$num.of.doors)
data$body_style <- as.factor(data$body.style)
data$drive_wheels <- as.factor(data$drive.wheels)
data$engine_location <- as.factor(data$engine.location)
data$fuel <- as.factor(data$fuel)
data$country <- as.factor(data$country)
data$continent <- as.factor(data$continent)

# Prikazivanje razina engine_location
levels(data$engine_location)

## [1] "front" "rear"

# Izgradnja regresijskog modela
# Ovaj model sastoji se od razlicitih karakteristika motora
ec1_model <- lm(price ~ horsepower + engine.size + num.of.cylinders + fuel.system, data = data)

# Prikazivanje sažetka modela
summary(ec1_model)

## 
## Call:
## lm(formula = price ~ horsepower + engine.size + num.of.cylinders + 
##     fuel.system, data = data)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
##  -8737  -1338      0   1316  13792 
## 
## Coefficients:
##                          Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)            -1.100e+03  3.546e+03  -0.310  0.75677    
## horsepower              9.280e+01  1.649e+01   5.626 6.80e-08 ***
## engine.size             5.452e+00  9.809e-01   5.558 9.53e-08 ***
## num.of.cylindersfive   -3.109e+03  2.432e+03  -1.278  0.20283    
## num.of.cylindersfour   -7.148e+03  2.485e+03  -2.877  0.00450 ** 
## num.of.cylinderssix    -7.087e+03  2.125e+03  -3.335  0.00103 ** 
## num.of.cylindersthree  -3.505e+03  4.245e+03  -0.826  0.41008    
## num.of.cylinderstwelve -1.648e+04  3.667e+03  -4.495 1.23e-05 ***
## num.of.cylinderstwo    -3.078e+03  4.415e+03  -0.697  0.48656    
## fuel.system2bbl        -1.505e+02  1.021e+03  -0.147  0.88298    
## fuel.system4bbl         6.971e+02  3.742e+03   0.186  0.85243    
## fuel.systemidi          3.314e+03  1.273e+03   2.603  0.01001 *  
## fuel.systemmfi         -6.178e+03  3.367e+03  -1.835  0.06814 .  
## fuel.systemmpfi         1.478e+02  1.109e+03   0.133  0.89406    
## fuel.systemspdi        -3.849e+03  1.529e+03  -2.517  0.01270 *  
## fuel.systemspfi         3.135e+02  3.259e+03   0.096  0.92348    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3110 on 183 degrees of freedom
##   (2 observations deleted due to missingness)
## Multiple R-squared:  0.8595, Adjusted R-squared:  0.848 
## F-statistic: 74.66 on 15 and 183 DF,  p-value: < 2.2e-16

Promatrajući procijenjene doprinose varijable prediktoru, zaključujemo da konjske snage te veličina motora značajno doprinose određivanju cijene automobila. Također, 12 cilindara značajno utječe na cijenu automobila. R-squared metrike govore nam da sastavljeni model objasnjava 85.95%, odnosno, 84.80% varijabilnosti. P-vrijednost je vrlo niska, što na nam govori da je model statistički značajan.

# Prikazivanje dijagnostike modela
# Residuals vs. Fitted plot
par(mfrow=c(1,2))
plot(ec1_model, which = 1, main = "Residuals vs. Fitted")

# Normal Q-Q plot
qqnorm(resid(ec1_model))
qqline(resid(ec1_model), col = 2)

Model 2

Drugi model koristi varijable: konjske snage, lokaciju motora, veličinu motora te tip motora kako bi predvidio cijenu automobila.

KOD:

# Izgradnja regresijskog modela
# Ovaj model kombinira različite karakteristike motora
model <- lm(price ~ horsepower + engine_location + engine.size  + engine.type , data = data)

# Prikazivanje sažetka modela
summary(model)

## 
## Call:
## lm(formula = price ~ horsepower + engine_location + engine.size + 
##     engine.type, data = data)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -9888.6 -1329.6   -58.6  1345.7 11922.5 
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)         -1.229e+04  1.610e+03  -7.635 1.07e-12 ***
## horsepower           3.744e+01  1.291e+01   2.900  0.00417 ** 
## engine_locationrear  7.688e+03  2.362e+03   3.256  0.00134 ** 
## engine.size          9.675e+00  7.062e-01  13.700  < 2e-16 ***
## engine.typel         2.802e+03  1.419e+03   1.975  0.04971 *  
## engine.typeohc       1.735e+03  1.084e+03   1.600  0.11128    
## engine.typeohcf      6.262e+02  1.434e+03   0.437  0.66283    
## engine.typeohcv     -3.312e+03  1.407e+03  -2.354  0.01962 *  
## engine.typerotor     9.720e+03  2.022e+03   4.808 3.10e-06 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3286 on 190 degrees of freedom
##   (2 observations deleted due to missingness)
## Multiple R-squared:  0.8372, Adjusted R-squared:  0.8304 
## F-statistic: 122.2 on 8 and 190 DF,  p-value: < 2.2e-16

# Prikazivanje dijagnostike modela
# Residuals vs. Fitted plot
par(mfrow=c(1,2))
plot(model, which = 1, main = "Residuals vs. Fitted")

# Normal Q-Q plot
qqnorm(resid(model))
qqline(resid(model), col = 2)

Promatrajući procijenjene doprinose varijabli prediktoru, zaključujemo da konjske snage, lokacija motora i veličina motora značajno doprinose određivanju cijene automobila. Tip motora “rotor” također ima značajan utjecaj na cijenu automobila. R-squared metrike govore nam da sastavljeni model objašnjava 83.72%, odnosno, 83.04% varijabilnosti. P-vrijednost je vrlo niska, što nam govori da je model statistički značajan.

Model 3

Treći model koristi varijable: konjske snage, veličinu motora, tip motora, broj cilindara, promjer cilindra, hod klipa, omjer kompresije, i najveću okretajnu brzinu motora kako bi predvidio cijenu automobila.

KOD:

# Izgradnja regresijskog modela
# Ovaj model kombinira različite karakteristike motora
model <- lm(price ~ horsepower + engine.size + as.factor(engine.type) + 
             as.factor(num.of.cylinders) + bore + stroke + compression.ratio + peak.rpm, 
            data = data)

# Prikazivanje sažetka modela
summary(model)

## 
## Call:
## lm(formula = price ~ horsepower + engine.size + as.factor(engine.type) + 
##     as.factor(num.of.cylinders) + bore + stroke + compression.ratio + 
##     peak.rpm, data = data)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -6353.2  -979.6    -2.6  1043.0  8501.4 
## 
## Coefficients:
##                                     Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)                        4.588e+03  5.468e+03   0.839 0.402526    
## horsepower                         7.290e+01  1.291e+01   5.645 6.38e-08 ***
## engine.size                        8.252e+00  1.267e+00   6.514 7.19e-10 ***
## as.factor(engine.type)l            4.349e+03  1.151e+03   3.779 0.000214 ***
## as.factor(engine.type)ohc          4.201e+03  8.395e+02   5.004 1.34e-06 ***
## as.factor(engine.type)ohcf         1.104e+03  1.145e+03   0.964 0.336350    
## as.factor(engine.type)ohcv        -6.443e+03  1.195e+03  -5.391 2.19e-07 ***
## as.factor(num.of.cylinders)five   -9.335e+03  2.770e+03  -3.370 0.000922 ***
## as.factor(num.of.cylinders)four   -1.342e+04  3.132e+03  -4.285 2.98e-05 ***
## as.factor(num.of.cylinders)six    -9.762e+03  2.168e+03  -4.502 1.21e-05 ***
## as.factor(num.of.cylinders)three  -9.967e+03  4.449e+03  -2.240 0.026303 *  
## as.factor(num.of.cylinders)twelve -2.161e+04  3.179e+03  -6.797 1.53e-10 ***
## bore                              -1.051e+02  5.955e+02  -0.176 0.860114    
## stroke                            -2.187e+03  3.364e+02  -6.500 7.72e-10 ***
## compression.ratio                  3.416e+02  5.432e+01   6.289 2.38e-09 ***
## peak.rpm                           1.725e+00  5.213e-01   3.310 0.001129 ** 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2451 on 179 degrees of freedom
##   (6 observations deleted due to missingness)
## Multiple R-squared:  0.9146, Adjusted R-squared:  0.9074 
## F-statistic: 127.7 on 15 and 179 DF,  p-value: < 2.2e-16

Promatrajući procijenjene doprinose varijablama prediktorima, zaključujemo da konjske snage, veličina motora, tip motora, broj cilindara, promjer cilindra, hod klipa, omjer kompresije i najveća okretajna brzina motora značajno doprinose određivanju cijene automobila. R-squared metrike govore nam da sastavljeni model objašnjava 91.46%, odnosno, 90.74% varijabilnosti. P-vrijednost je vrlo niska, što nam govori da je model statistički značajan.

# Prikazivanje dijagnostike modela
# Residuals vs. Fitted plot
plot(model, which = 1, main = "Residuals vs. Fitted")

# Normal Q-Q plot
qqnorm(resid(model))
qqline(resid(model), col = 2)

Marka automobila

Sastavljen je model koji koristi samo jednu varijablu - marku automobila. Model je vrlo jednostavan, no u kontekstu automobila smisleno je promatrati moć takvog modela.

KOD:

# sa levels printam sve kategorije ovih varijabli
levels(data$engine_location)
#levels(data$aspiration)

model <- lm(price ~ make, data = data)

summary(model)

## [1] "front" "rear" 
## 
## Call:
## lm(formula = price ~ make, data = data)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -9688.7 -2131.5  -354.4  1409.0 15196.2 
## 
## Coefficients:
##                    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)       15498.333   2191.253   7.073 3.30e-11 ***
## makeAudi           2360.833   2683.726   0.880  0.38021    
## makeBMW           10620.417   2569.472   4.133 5.49e-05 ***
## makeChevrolet     -9491.333   3098.900  -3.063  0.00253 ** 
## makeDodge         -7622.889   2530.241  -3.013  0.00296 ** 
## makeHonda         -7313.641   2430.977  -3.009  0.00300 ** 
## makeIsuzu         -6581.833   3464.676  -1.900  0.05908 .  
## makeJaguar        19101.667   3098.900   6.164 4.58e-09 ***
## makeMazda         -4845.451   2376.748  -2.039  0.04295 *  
## makeMercedes-Benz 18148.667   2569.472   7.063 3.48e-11 ***
## makeMercury        1004.667   4382.507   0.229  0.81894    
## makeMitsubishi    -6258.564   2430.977  -2.575  0.01085 *  
## makeNissan        -5082.667   2366.824  -2.147  0.03310 *  
## makePeugeot          -9.242   2472.067  -0.004  0.99702    
## makePlymouth      -7534.905   2619.049  -2.877  0.00450 ** 
## makePorsche       15902.167   2898.756   5.486 1.39e-07 ***
## makeRenault       -5903.333   3464.676  -1.704  0.09014 .  
## makeSaab           -275.000   2683.726  -0.102  0.91850    
## makeSubaru        -6957.083   2449.896  -2.840  0.00504 ** 
## makeToyota        -5612.521   2291.668  -2.449  0.01528 *  
## makeVolkswagen    -5420.833   2449.896  -2.213  0.02818 *  
## makeVolvo          2564.848   2472.067   1.038  0.30089    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3795 on 179 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7959, Adjusted R-squared:  0.7719 
## F-statistic: 33.23 on 21 and 179 DF,  p-value: < 2.2e-16

Promatrajuci koeficijente zakljucujemo da sljedeće marke znacajno povećavaju cijenu automobila: BMW, Jaguar, Mercedes-Benz i Porsche. Marke koje smanjuju cijenu automobila (u usporedbi s referentnom markom) su: Honda, Mitsubishi, Subaru, Toyota, Volkswagen, Dodge i Chevrolet. R-squared metrika govori nam da model objašnjava 79.59% varijabilnosti u cijenama automobila, što je vrlo značajno za model sa samo jednom varijablom. F statistika ukazuje na značajnost modela, a p-vrijednost vrlo je niska.

# Prikazivanje dijagnostike modela
# Residuals vs. Fitted plot
par(mfrow=c(1,2))
plot(model, which = 1, main = "Residuals vs. Fitted")

# Normal Q-Q plot
qqnorm(resid(model))
qqline(resid(model), col = 2)

Metrike performansi

Regresijski model sastavljen je od sljedećih metrika: potrošnja goriva u gradskoj vožnji, potrošnja goriva na autocesti te maksimalan broj okretaja. Metrike su usko vezane uz performanse automobila.

KOD:

model <- lm(price ~ city.L.100km + highway.L.100km + peak.rpm, data = data)

summary(model)

## 
## Call:
## lm(formula = price ~ city.L.100km + highway.L.100km + peak.rpm, 
##     data = data)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -9262.2 -3064.7  -351.8  1878.3 18031.5 
## 
## Coefficients:
##                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)      325.1097  4089.8995   0.079 0.936724    
## city.L.100km    1526.5314   482.9152   3.161 0.001823 ** 
## highway.L.100km 1451.6345   660.8091   2.197 0.029217 *  
## peak.rpm          -2.7238     0.7266  -3.749 0.000234 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 4604 on 195 degrees of freedom
##   (2 observations deleted due to missingness)
## Multiple R-squared:  0.6721, Adjusted R-squared:  0.6671 
## F-statistic: 133.3 on 3 and 195 DF,  p-value: < 2.2e-16

Potrošnja goriva u gradskoj vožnji, potrošnja goriva na autocesti i maksimalni broj okretaja značajno doprinose modelu. Iako model slabije objašnjava varijabilnost u podacima od predhodno korištenih modela, gledajući F-statistiku primjećujemo da je model i dalje statistički znacajan. Manje je kompleksan od nekih predhodno korištenih, sto ga čini interpretabilnijim. Varijabla koja je statistički najznačajnija je maksimalan broj okretaja motora. Model objašnjava 67.21% varijabilnosti podataka.

# Residuals vs. Fitted plot
par(mfrow=c(1,2))
plot(model, which = 1, main = "Residuals vs. Fitted")

# Normal Q-Q plot
qqnorm(resid(model))
qqline(resid(model), col = 2)

Konjske snage

Model se sastoji od jedne varijable - konjskih snaga. Model je na prvi pogled prejednostavan, no u kontekstu automobila ima smisla promotriti ga (automobili sa više konjskih snaga motora u pravilu su skuplji).

KOD:

#levels(data$aspiration)
model <- lm(price ~ horsepower, data = data)

summary(model)

## 
## Call:
## lm(formula = price ~ horsepower, data = data)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -10180.1  -2262.0   -471.1   1779.5  18276.2 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -4562.175    974.995  -4.679 5.35e-06 ***
## horsepower    172.206      8.866  19.424  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 4685 on 197 degrees of freedom
##   (2 observations deleted due to missingness)
## Multiple R-squared:  0.657,  Adjusted R-squared:  0.6552 
## F-statistic: 377.3 on 1 and 197 DF,  p-value: < 2.2e-16

Konjske snage su statistički značajan prediktor cijene automobila. Model objašnjava 65.7% varijabilnosti u cijenama automobila, brojka je slična modelu koji koristi metrike performanse za predviđanje cijene koji smo promatrali maloprije. F statistika nam govori da je model statistički značajan (p vrijednost je vrlo mala). Iako model koristi samo jednu varijablu za predikciju cijene, multiple R-squared je relativno visok te pokazuje na dobru sposobnost objasnjavanja varijabilnosti u cijenama vozila.

# Residuals vs. Fitted plot
par(mfrow=c(1,2))
plot(model, which = 1, main = "Residuals vs. Fitted")

# Normal Q-Q plot
qqnorm(resid(model))
qqline(resid(model), col = 2)

Zaključak: U zaključku naše analize, istražili smo različite regresijske modele s ciljem predviđanja cijene automobila. Kroz proučavanje karakteristika motora, marki automobila i metrikama performansi, stekli smo dublje razumijevanje faktora koji značajno utječu na cijenu vozila.

Naša analiza je ukazala na to da modeli koji uključuju više varijabli obično pokazuju veću sposobnost u objašnjavanju varijabilnosti cijene. Na primjer, regresijski modeli temeljeni na konjskim snagama, veličini motora, broju cilindara te drugim karakteristikama motora pokazali su visoku razinu objašnjavajuće moći, dosežući objašnjenje i do 91.46% varijabilnosti cijene.

S druge strane, jednostavni modeli, kao što su oni bazirani samo na markama automobila ili konjskim snagama, također su pokazali značajnu prediktivnu snagu. Na primjer, model temeljen na markama automobila objasnio je 79.59% varijabilnosti u cijenama, što sugerira da marka ima bitan utjecaj na konačnu cijenu vozila.

Pitanje 4 - Analiza omjera kompresije izmedu atmosferskih motora i motora s turbopunjačem

Postoji li razlika u omjeru kompresije izmedu atmosferskih motora i motora s turbopunjačem?

1. Učitavanje potrebnih biblioteka i podataka

path <- "car_specifications.csv"
podaci <- read.csv(path)

2. Filtriranje podataka

# Filtriram podatke prema tipu motora
atmosferski_motori <- podaci %>% filter(aspiration == "std")
turbopunjaci <- podaci %>% filter(aspiration == "turbo")

3. Deskriptivna statistika

# Izračun osnovne statističke mjere za omjer kompresije
summary(atmosferski_motori$compression.ratio)
summary(turbopunjaci$compression.ratio)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##    7.50    8.70    9.00    9.59    9.40   23.00 
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##    7.00    7.50    8.15   12.79   21.00   23.00

4. Testiranje hipoteza

# Testiranje razlike u omjeru kompresije između dvije grupe motora
t.test(atmosferski_motori$compression.ratio, turbopunjaci$compression.ratio)

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  atmosferski_motori$compression.ratio and turbopunjaci$compression.ratio
## t = -2.7559, df = 37.532, p-value = 0.008982
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -5.5585661 -0.8494743
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  9.590424 12.794444

Ili, ako pretpostavke t-testa nisu zadovoljene, možemo koristiti Mann-Whitney U test:

wilcox.test(atmosferski_motori$compression.ratio, turbopunjaci$compression.ratio)

## 
##  Wilcoxon rank sum test with continuity correction
## 
## data:  atmosferski_motori$compression.ratio and turbopunjaci$compression.ratio
## W = 3517.5, p-value = 0.0813
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

5. Vizualizacija

# Vizualizacija razlika u omjeru kompresije između dvije grupe motora
ggplot() +
  geom_boxplot(data = rbind(atmosferski_motori %>% mutate(Type = "Atmosferski motori"),
                            turbopunjaci %>% mutate(Type = "Turbopunjaci")),
               aes(x = Type, y = compression.ratio)) +
  labs(title = "Omjer kompresije prema tipu motora",
       x = "Tip motora",
       y = "Omjer kompresije") +
  theme_minimal()

6. Zaključak:

Na temelju provedenog Wilcoxonovog testa rangova s korekcijom kontinuiteta, ne možemo odbaciti nultu hipotezu na razini značajnosti od 0,05. P-vrijednost iznosi 0,0813, što je veće od konvencionalnog praga značajnosti od 0,05.

To sugerira da nema statistički značajne razlike u omjeru kompresije između atmosferskih motora i motora s turbopunjačem na razini značajnosti od 0,05.

Međutim, važno je napomenuti da je p-vrijednost vrlo blizu pragu značajnosti od 0,05, što znači da postoji mala vjerojatnost (8,13%) da bismo dobili ovakav ili ekstremniji uzorak ako je nulta hipoteza istinita. U praksi, ovo bi moglo sugerirati potrebu za daljnjim istraživanjem ili povećanjem veličine uzorka kako bismo s većom sigurnošću potvrdili ove rezultate.

Stoga, na temelju dostupnih podataka, ne možemo potvrditi da postoji razlika u omjeru kompresije između atmosferskih motora i motora s turbopunjačem.

Regression Analysis on Car Specifications

Luka Babić, Dominik Barukčić, Andrija Merlin, Ivan Skukan

2024-01-11

Uvod, motivacija i opis problema

Pitanje 1 - Snaga automobila ovisno o pogonu

Uvod

Učitavanje podataka

Histogrami distribucije snage motora

Provjera normalnosti podataka

Varijabilnost snage motora

Razlike u snazi motora

Usporedba s.m. za sve tipove pogona

Vizualizacija podataka

Zaključak

Pitanje 2 - Razlike u potrošnji automobila prema regiji

Uvod

Usporedba sredina

Testiranje normalnosti

Subregionalno

Pitanje 3 - Predvidanje cijene automobila

Interpretacija plotova

Interpretacija ispisa

Regresijski modeli

Karakteristike motora

Model 1

Model 2

Model 3

Marka automobila

Metrike performansi

Konjske snage

Pitanje 4 - Analiza omjera kompresije izmedu atmosferskih motora i motora s turbopunjačem

1. Učitavanje potrebnih biblioteka i podataka

2. Filtriranje podataka

3. Deskriptivna statistika

4. Testiranje hipoteza

5. Vizualizacija

6. Zaključak: